已知平面法向量$\vec{N}$, 入射向量$\vec{L}$, 代求向量$\vec{T}$, 入射夹角$\theta_1$, 折射角$\theta_2$，现求$\vec{T}$. $\vec{N}$, $\vec{L}$与$\vec{T}$均为方向向量.

将$\vec{L}$与$\vec{T}$分解到$N$和切平面上，分量记为$l_1, l_2, t_1, t_2$.

$L = l_1 + l_2$

$l2 = -N \ldotp cos\theta_1$

可得

$l_1 = L - l_2 = L + N \ldotp cos\theta_1$

这里$t_1$与$l_1$方向一致, 令$\frac{sin\theta_1}{sin\theta_2} = \eta = \frac{n_2}{n_1}$(菲涅尔公式)

$t_1 = l_1$ \frac{sin\theta_2}{sin\theta_1} = l_1 \frac{1}{\eta}

同理推出

$T = t_1 + t_2$

$t2 = -N \ldotp cos\theta_2$

可得

$\begin{array}{l}$
T & = & l_1 \frac{1}{\eta} - N cos\theta_2 \\
& = & L - l_2 \\
& = & \frac{1}{\eta}(L + N \ldotp cos\theta_1) - N * cos\theta_2 \\
& = & \frac{1}{\eta}L + N \ldotp (\frac{1}{\eta}cos\theta_1 - cos\theta_2)
\end{array}